有趣的数学故事

有一天，小明在数学课上学习了一种新的数学概念：无理数。他觉得这个概念非常有趣，决定深入研究。

小明开始思考：无理数就是不能表示为两个整数的比例的数，那在实际生活中有哪些例子呢？

他仔细回想，突然灵光一现。他想起了一个古老的故事：希腊数学家毕达哥拉斯曾经发现，边长为1的正方形的对角线的长度不是一个有理数。他用一条无穷不循环小数表示了这个长度，并将其称为√2。这个数被证明是一个无理数，无限的小数位不断变化，没有规律可循。

小明觉得这个故事非常有趣，他开始思考：如果将正方形的边长增大一倍，对角线的长度会发生什么变化呢？能否用有理数来表示呢？

他开始进行推理，假设边长为2的正方形的对角线的长度可以表示为一个有理数，即可以写成两个整数的比例。他写下了一个等式：2 = x/y，其中x和y为两个互质的整数。然后，他经过一系列的计算，得到了一个新的等式：2y^2 = x^2。

小明注意到这个等式右边是一个偶数的平方，那么左边也必须是一个偶数的平方。根据整数平方的性质，他知道一个偶数的平方一定是4的倍数。所以，他推断出2y^2也必须是4的倍数。

他接着进行推理，得出结论：y必须是2的倍数。假设y = 2m，其中m为整数。代入原等式，得到2(2m)^2 = x^2，简化得到8m^2 = x^2。

然后，他发现右边是一个偶数的平方，左边必须是一个偶数的平方。根据整数平方的性质，他推断出m也必须是2的倍数。假设m = 2n，其中n为整数。代入原等式，得到8(2n)^2 = x^2，简化得到32n^2 = x^2。

小明反复推理，发现x必须是2的倍数。这与最初假设的x和y互质相矛盾。因此，他得出结论：边长为2的正方形的对角线的长度√2仍然是一个无理数。

小明对这个推理过程感到非常惊奇，他从中体会到了数学的无穷魅力。数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式，让人能够发现世界的美妙之处。从此以后，小明对数学充满了热爱和好奇心，他决心继续探索更多有趣的数学故事。