为什么无穷小的无穷大是无穷大？

一、为什么无穷小的无穷大是无穷大？

当n趋于无穷大时

n个1/n的加和是1

n个1/√n的加和是无穷大

n个1/n²的加和是无穷小

所以，你说呢

本质上是两个无穷大量之“比值”，叫做“比阶”。比阶比的不是“大小”而是趋近的“快慢”。比阶的结果有4种：无穷大、无穷小、常数、未知，都有可能，要看两个无穷大的表达式

日常生活里的无穷小，咱也不知道无穷个无穷小是不是无穷大，无穷小和无穷大是非常抽象的，我们总得把它具体了才能讨论，要不然就回到“道可道，非常道，你说无穷小有多道，那就有多道”的无意义讨论了

但是，在数学里的无穷小，不是一个确定的数，而是一个“过程”

举个例子，当 不断增长的时候， 本身就是个无穷大量，但是，同样的，当 不断增大的时候， 也是无穷大量，但是很容易想，跟 比起来， 要小得多，这就是“不同阶的无穷大”

同样的， 在 趋向于无穷大的时候，是无穷小量（趋近于0嘛），但是 在 趋近于无穷大的时候，趋近于0的速度要比 快很多吧

回到题主的问题，无穷多个无穷小是不是无穷大，这个在数学里其实是看情况而定的

比如有 个 ，这种情况下 ，也即答案是无穷大

比如有 个 ，这种情况下 ，也即答案是一个常数

比如有 个 ，这种情况下 ，也即答案是0

请务必注意，上面的式子里，无穷大符号 并不是一个确定的数，可以把它想成一种现象，一个过程，是“随便哪个数，总比你大”的过程

无穷运算结果不一定是啥，有可能收敛，有可能不收敛，就拿斜率来说，直线垂直的斜率乘积是-1。平行线的斜率0，那么垂直的线斜率∞，因此单从斜率来看，无穷大乘0会等于-1。当然这是一种情况。这个例子说明无穷运算结果不确定，具体情况会有具体的不同的结果。

二、两个无穷大之和为什么不是无穷大？

两个无穷大之和不是无穷大是因为并没有说两个无穷大是正的还是负的无穷大。如果一个是正的，另一个是负的，两人无穷大之和可能是个常数，也可能是零或者无穷大。两个无穷大之积一定是无穷大，有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大。

三、两个无穷大的和一定是无穷小？

不一定，无穷大也分可数无穷大和不可数无穷大。举个例子：考虑数轴上0到1的线段。其中有无穷个有理数。将这些有理数对应的点去掉，剩下的线段总长度不变。也就是说，无理数的个数远大于有理数，即使两者都是无穷多个。可以去翻翻数学分析。

四、如何理解一个无穷小的正数的倒数无穷大？

恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小.0是个很奇怪的数字,在这里,0是唯一可以作为无穷小的常数.所以单纯的说“无穷小的倒数是无穷大”是错的。

根据无穷小的定义常函数f(x)=0在任何值处都是无穷小（可以去参照同济版高数第五版第一册第38页）,但明显0的倒数没有意义,不是无穷大。

恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小。

五、无穷大乘以无穷大的极限？

无穷大乘以无穷大的结果仍然是无穷大，极限是不存在的。无穷大加无穷大不一定是无穷大，可能是0，也可能是常数。

举个例子当x→0时，1／x无穷大，而six（1／x）是有限量，在-1和＋1之间。所以当x→0时，1／x与sin（1／x）积是无限量乘有限仍然是无穷大，极限不存在。

六、无穷大的极限？

无穷大量就是在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的变量或函数。

例如 ，是当 时的无穷大，记作+∞ 。 1.设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。

无穷大记作∞，不可与很大的数混为一谈。

2.①如果当x>0且无限增大时，函数f(x)无限趋于一个常数A，则称当x→+∞时函数f(x)以A为极限.记作

=A或f(x)→A ﹙x→+∞﹚.

②如果当x<0且x的绝对值无限增大时，函数f(x)无限趋于一个常数A，则称当x→－∞时函数f(x)以A为极限.记作

=A或f(x)→A ﹙x→－∞﹚. 两个无穷大量之和不一定是无穷大；

有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数）；

有限个无穷大量之积一定是无穷大。

另外，一个数列不是无穷大量，不代表它就是有界的（如，数列1，1/2，3，1/3，……）。 对于发散至正无穷大（或负无穷大）的无穷级数 ，我们也记作 （或 ）

例：

调和级数：

更一般地，对于p级数， 时有

素数的倒数之和：

七、无穷大的概念？

无穷大的定义：对应于不同无穷集合的元素的个数（基数），有不同的“无穷”。两个无穷大量之和不一定是无穷大，有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数），有限个无穷大量之积一定是无穷大。

对于两个无穷集合，可以以能否建立它们之间的双射，作为比较其大小的标准。确切地讲，我们用基数的概念来描述集合，对于有限集合而言，可以认为它的基数就是元素的个数，但对无穷集而言，基数只能以下面的方式理解（当然也可以据此把无穷集合的基数说成是它元素的个数，但这个个数已经不是日常用语中的意思）。

如果集合A与集合B之间存在双射（一一对应），就认为它们的基数一样大；如果A与B的某个子集有双射，就认为A的基数不比B更大，也就是A到B有单射，B到A有满射；当A的基数不比B更大，且A、B基数不一样大时，就认为A比B基数小。在ZFC集合论的框架下，任何集合都是良序的，从而两个集的基数总是大于、小于、等于中的一种，不会出现无法比较的情况。但若不包括选择公理，只有良序集的基数才能比较。

八、两个无穷大量之和的极限仍为无穷大吗？

两个正无穷大量之和的极限仍为正无穷大，两个负无穷大量之和的极限仍为负无穷大，但两个无穷大量之和的极限不一定为无穷大，如一个正无穷大量与一个负无穷大量之和不一定是无穷大量。

九、无穷小无穷大的概念与性质？

无穷小的定义:极限为零的变量称为无穷小

（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;

（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.

无穷大的定义:绝对值无限增大的变量称为无穷大.

（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;

（2）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

（3）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；

定理

在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.

1

-

=

y

中lim

x->0

(x>0)

那么这个时候y->正无穷大

x

同样

1

-

=

-y

中lim

x->0

(x>0)

那么这个时候y->负无穷大

x

十、一个无穷小乘一个无穷大到底咋算啊？

x趋近0时2乘x的0.0000000001次方是无穷小无限个这样的无穷小相乘等于2的n次方乘x的0.0000000001乘n次方其中n趋近无穷大前者为无穷大，后者无穷小，由于无穷小乘有界函数为无穷小，无穷大不是有界函数，所以相乘不一定为无穷小，要去比较无穷小与无穷大哪个阶小，才能判断有限个这样无穷小相乘为2的a次方乘x的0.0000000001乘a次方,其中a为常数，前者为常数，后者为无穷小，由于无穷小乘有界函数为无穷小，常数函数是有界函数，所以答案为无穷小即0所以得证